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Galois, bajo la mirada hilarante de los ‘Tortulianos’

Publicado: 28 diciembre, 2017 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala
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“El duelista demanda satisfacción, pues el honor para él es apetito.”

Galois-2.jpg

Las casualidades son así. El otro día redactando la entrada anterior apareció Evaristo Galois, cierto que en el blog hay alguna que otra entrada dedicada a él, pero hete aquí que dedicando un ratillo a otras de mis aficiones, la historia, me aparece este podcast dedicado a él.

Galois Mugs

A estos ‘locos’ uruguayos de La Tortulia Podcast los tenía en la recámara  a la espera de tener un poco de tranquilidad y escuchar sus audios.

Son geniales, cuesta, algunas veces, entenderlos pues cuando cogen carrerilla enlazan palabras a la misma velocidad de la luz, no es el caso en este corte.

En cualquiera de los casos es una manera fresca, alejado del corsé academicista, de acercarse a su muerte, Galois se hizo grande gracias a las últimas horas de su vida. No cuento nada más, disfrútenlo.

 

La Tortulia #16 – Duelos: Evariste Galois

La Paradoja de Sancho Panza

Publicado: 28 diciembre, 2017 de Pepe E. Carretero en Matejuegos, Tusitala

Como buen universitario siempre andaba escaso de dinero. Una forma sencilla de hacerse con algunos duros eran las manidas clases particulares de matemáticas de BUP y COU. Manidas sí, pero cubrían el expediente.

Cuando le fui cogiendo un poco de coraje a las discusiones sobre cual es o no la definición de cóncavo y con(b)exo y algo de soltura a las mates superiores pasé al alumnado universitario de aplicadas, pero el salto de calidad fue cuando descubrí el álgebra de segundo curso. El ÁLGEBRA DOS, así de rotundo. ¡Qué cosa fuera!

En el primer cuatrimestre, de mi año claro, eso lo rifaban los arcanos del mega departamento de Álgebra, Geometría, Topología, Computación y Arquitectura de los Ordenadores, ¡toma ya!, de corrido y sin trompicones. Como decía el primer cuatrimestre lo dedicábamos a Galois, ¡que historia!, algo tengo publicado de él anteriormente, pero lo de Evariste Galois es un dramón de los antiguos. Buscad por ahí si no conocéis la historia.

Galois.jpg

Solo el hecho de descubrir a Galois y resolver un par de ecuaciones de tercer y cuarto grado merecía la pena cursar esa materia, pero lo mejor estaba por llegar. Quién se haya batido el cobre con la teoría de conjuntos del segundo cuatrimestre de aquella bendita materia podrá expresar la fascinación que producía. En principio fascinación, luego … amargura, desesperación, impotencia, conductas paranoides,…

Ahí aparecí yo. Se me dio bien el invento de la teoría de conjuntos, cosa que pasados quince o veinte años, sin entrenamiento previo y a dolor puede demostrar en el Máster de Matemáticas de la US, testigos tengo, “Pictolín” puede dar fe de ello. Vi la oportunidad y decidí aprovechar la coyuntura, organicé la materia, busque donde dar las clases, los alumnos y poco más. El negocio funcionó y durante dos años acompañé, como dicen ahora los “modernitos”, a los desdichados cadáveres que tan temida criatura iba dejando en las cunetas.

Gané dinero, supongo que lo gastaría en bastante menos tiempo del que me costó conseguirlo, pero me quedé con aquella fascinación que a todos nos embargaba cuando escuchamos “Conjunto”, “Axioma de la Elección”, “Gödel”, “Inconsistencia”, …

Recuerdo aquella pregunta que José Antonio, nuestro profesor nos hizo el primer día de clase: “¿cómo definirías un conjunto?” Todos pensábamos:  “¿qué pregunta más tonta?” Al cabo de unos minutos nuestra seguridad caía por los suelos. O tal vez su reputación, Se  iniciaba una retahíla de nombres Frege, Russell, lógica matemática…

Y la “Paradoja del barbero”. Al final, más de uno terminábamos preguntándonos que pinta un barbero con los conjuntos en la clase de álgebra; otros se quedan con la dificultad de resolver la paradoja y a unos pocos les sigue martilleando la pregunta: ¿qué es un conjunto? Que al fin y al cabo era la intención última, seguro, de Don José Antonio Alonso.

Por mi parte decidí, humildemente hacer una variación. Cambié la paradoja del barbero por otra más del terreno, con la que pretendía producir el mismo resultado. Y qué más “de aquí” que nuestro Sancho Panza y un problema que planteaba Alejandro Casona en su obra Sancho Panza en la ínsula Barataria.

Sancho

En la obra, a Sancho le plantean el siguiente problema:

En el camino de entrada a la ínsula hay una horca, cada vez que una persona quiere entrar se le pregunta a dónde va. Si contesta la verdad se le deja pasar, pero si contesta una mentira se le ahorca.

Por tanto tenemos dos conjuntos, aquel formado por las personas que entran en la ínsula y el formado por los ajusticiados. Obviamente cada persona que desee entrar sólo puede ir a uno de los conjuntos. Volvamos a Sancho y la duda que le suscita el mayordomo.

El dilema nos apareció el pasado día, cuando uno de los viandantes contestó ante la pregunta: voy a morir en esa horca. ¿Qué hacemos con él?

Si lo trasladamos a nuestros conjuntos… ¿en qué conjunto meteríamos a ese ciudadano?

La paradoja es análoga a la del barbero, pero no me negarán que esta la podemos esgrimir como más… dejémoslo en literaria.

Por cierto, ¿cuál fue la respuesta de Sancho?

¿Y tu? ¿cómo ves el 2013?

Publicado: 31 diciembre, 2012 de Pepe E. Carretero en Tusitala
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Se nos acaba el año, otro, particularmente a mí se me han acabado 39, sí 39 son los fines de año que he vivido, así que ya me estoy cansando un poco de lo mismo. Eso es cosa mía, no hay por qué ver del mismo modo. De cualquier manera todos compartimos nuestros deseos y anhelos para el próximo año a la vez que de reojo valoramos el que estamos dejando atrás, así que cerrando los ojos un poco solo pido que este año nos permita al menos luchar por lo que queremos y creemos y si no se cumple que al menos no podamos recriminarnos que no lo intentamos, brindo por ello. Salud y Feliz 2013.

Antonio Roldán Martínez es profesor de Enseñanza Media jubilado y verdadero mago de los números, con visitar su espacio web, Hojamat os podréis hacer una idea de lo que os digo, lleva realizando en los últimos años una maravillosa composición (realmente descomposición) alrededor de la cifras que identifican el año entrante, la de este año está recogida en su blog  Números y hoja de cálculo, con ella cierro el año, hasta el próximo pues, que mos sea favorable y que lo llenemos de Mates.

¿Cómo veo el 2013?
Comprobado ya que el mundo no se ha acabado el día 21 y que el calendario sigue cambiando cifras por ahora, saludamos a las siguientes que van a caer:

Veo al 2013…

Desde cifras panorámicas

2013=9*8-(2+1+0)+6+57*34
2013=(5+106)*(8+7+3)+9+4+2
2013=7*8*(0+2+4+6+19+5)-3
2013=4*(1+2)+(50+37)*(9+6+8)

Con ideas trascendentes

2013=(3+1)*(4+1+5)*9/2*(6+5)+(3+5+8+9+8)    (p)
2013=2+7+1+8+(2+8+1+8+2+84)*(5+9+0+5)    (e)
2013= =1*(6+1+8+0+3+39+8+8)*(7+4+9+8)-(9+4+8+4+8)+2+0  (j)

Y aspiraciones mesiánicas

2013==(7+7+7)*(7+77+7+7)-(7+7*7)+77/7

Pero amistades satánicas

2013==6+6+6+6+(66+6*6)*6*(6+66+6)/(6+6+6+6)

Lo dejan autoreferente

2013=((2+0)^(1+3+2+0)-1*3)*(20+13)
2013=20*(1+3+2+0+1+3)^(2+0)+13

A veces escala montes

2013=12*(2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+7+8+8+99)+9

Para llegar a la cima

2013=(9+9+9+9+9)*(9+9+9+9+9)-(9+99)/9

Y hasta una humilde colina

2013=11+(11+11)*(1+1+11)*(1+1+1+1+1+1+1)

Se lo llevan los desmontes

2013=(9+9+8+8)+(77+6+6+5+5)*(4+4+3+3+2+2+1+1)-1

Acepta humilde el fracaso

2013=(3+3)*(3+333)-3

Y aunque un poco más lo intente

2013=11+(1+1+22)*33/(4+4)*(5+5+6+6)-(7+7+8)*8
2013=-1+(1+1+2+23)*(34+4+5+5+6+6+7+7)+(8+8)

Le deja el turno al siguiente

2013=(2+0+1+4)*(2+0)*(1+4+2+0+1+4)^2+(0+1)-4

Y se va marcando el paso

2013=(6+1+6+1+6+1+6+1+6)*(1+6+1+6+1+6+1+6+1+6+16+1+6+1)+6+1
2013=(61+6+1+6+1+6+1+6+1)*(6+16+1)-(6+1+6+1+6+1)-(6+1)-6
2013=(6+1+61)*(6+16+1+6+1)-(6+1+6+1+6+1+6+1+6)+1+6
2013=(6+1+6+1+6+1+6)^1*(61+6+1+6)+1+6+1+6+1
2013=(61+6+1)*(6+1+6+16+1)-(6+1+6)-1-6-6-1
2013=(6+1+6)*161-6-1-6-1-61-6+1
2013=(6+16+16+1-6/1)*61

Bueno, a veces lo cambia

2013=(16+16+1)*61/6/1*6

O se hace capicúa

2013=(16+16+1)*61

¡Feliz año nuevo!

Preparando la Tierra

Publicado: 1 septiembre, 2012 de Pepe E. Carretero en Tusitala
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Estamos de vuelta, ¿qué tal gorriones?

Publicado: 1 septiembre, 2012 de Pepe E. Carretero en Tusitala

‘El Libro de Arena’ por Jorge Luis Borges

Publicado: 29 junio, 2012 de Pepe E. Carretero en Tusitala
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La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes… No, decididamente no es éste, more geometrico, el mejor modo de iniciar mi relato. Afirmar que es verídico es ahora una convención de todo relato fantástico; el mío, sin embargo, es verídico.

Yo vivo solo, en un cuarto piso de la calle Belgrano. Hará unos meses, al atardecer, oí un golpe en la puerta. Abrí y entró un desconocido. Era un hombre alto, de rasgos desdibujados. Acaso mi miopía los vio así. Todo su aspecto era de pobreza decente. Estaba de gris y traía una valija gris en la mano. En seguida sentí que era extranjero. Al principio lo creí viejo; luego advertí que me había engañado su escaso pelo rubio, casi blanco, a la manera escandinava. En el curso de nuestra conversación, que no duraría una hora, supe que procedía de las Orcadas. Le señalé una silla. El hombre tardó un rato en hablar. Exhalaba melancolía, como yo ahora.

—Vendo biblias —me dijo.
No sin pedantería le contesté:
—En esta casa hay algunas biblias inglesas, incluso la primera, la de John Wiclif. Tengo asimismo la de Cipriano de Valera, la de Lutero, que literariamente es la peor, y un ejemplar latino de la Vulgata. Como usted ve, no son precisamente biblias lo que me falta.
Al cabo de un silencio me contestó.
—No sólo vendo biblias. Puedo mostrarle un libro sagrado que tal vez le interese. Lo adquirí en los confines de Bikanir.

Abrió la valija y lo dejó sobre la mesa. Era un volumen en octavo, encuadernado en tela. Sin duda había pasado por muchas manos. Lo examiné; su inusitado peso me sorprendió. En el lomo decía Holy Writ y abajo Bombay.

—Será del siglo diecinueve —observé.
—No sé. No lo he sabido nunca —fue la respuesta.

Lo abrí al azar. Los caracteres me eran extraños. Las páginas, que me parecieron gastadas y de pobre tipografía, estaban impresas a dos columnas a la manera de una biblia. El texto era apretado y estaba ordenado en versículos. En el ángulo superior de las páginas había cifras arábigas. Me llamó la atención que la página par llevara el número (digamos) 40.514 y la impar, la siguiente, 999. La volví; el dorso estaba numerado con ocho cifras. Llevaba una pequeña ilustración, como es de uso en los diccionarios: un ancla dibujada a la pluma, como por la torpe mano de un niño.

Fue entonces que el desconocido me dijo:
—Mírela bien. Ya no la verá nunca más.
Había una amenaza en la afirmación, pero no en la voz.
Me fijé en el lugar y cerré el volumen. Inmediatamente lo abrí. En vano busqué la figura del ancla, hoja tras hoja. Para ocultar mi desconcierto, le dije:
—Se trata de una versión de la Escritura en alguna lengua indostánica, ¿no es verdad?
—No —me replicó.
Luego bajó la voz como para confiarme un secreto:
—Lo adquirí en un pueblo de la llanura, a cambio de unas rupias y de la Biblia. Su poseedor no sabía leer. Sospecho que en el Libro de los Libros vio un amuleto. Era de la casta más baja; la gente no podía pisar su sombra, sin contaminación. Me dijo que su libro se llamaba el Libro de Arena, porque ni el libro ni la arena tienen ni principio ni fin.

Me pidió que buscara la primera hoja.
Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano.
Era como si brotaran del libro.

—Ahora busque el final.
También fracasé; apenas logré balbucear con una voz que no era la mía:
—Esto no puede ser.
Siempre en voz baja el vendedor de biblias me dijo:
—No puede ser, pero es. El número de páginas de este libro es exactamente infinito.

Ninguna es la primera; ninguna, la última. No sé por qué están numeradas de ese modo arbitrario. Acaso para dar a entender que los términos de una serie infinita admiten cualquier número.

Después, como si pensara en voz alta:

—Si el espacio es infinito estamos en cualquier punto del espacio. Si el tiempo es infinito estamos en cualquier punto del tiempo.
Sus consideraciones me irritaron. Le pregunté:
—¿Usted es religioso, sin duda?

—Sí, soy presbiteriano. Mi conciencia está clara. Estoy seguro de no haber estafado al nativo cuando le di la Palabra del Señor a trueque de su libro diabólico.

Le aseguré que nada tenía que reprocharse, y le pregunté si estaba de paso por estas tierras. Me respondió que dentro de unos días pensaba regresar a su patria. Fue entonces cuando supe que era escocés, de las islas Orcadas. Le dije que a Escocia yo la quería personalmente por el amor de Stevenson y de Hume.

—Y de Robbie Burns —corrigió.
Mientras hablábamos yo seguía explorando el libro infinito. Con falsa indiferencia le pregunté:
—¿Usted se propone ofrecer este curioso espécimen al Museo Británico?
—No. Se lo ofrezco a usted —me replicó, y fijó una suma elevada. Le respondí, con toda verdad, que esa suma era inaccesible para mí y me quedé pensando. Al cabo de unos pocos minutos había urdido mi plan. —Le propongo un canje —le dije—. Usted obtuvo este volumen por unas rupias y por la Escritura Sagrada; yo le ofrezco el monto de mi jubilación, que acabo de cobrar, y la Biblia de Wiclif en letra gótica. La heredé de mis padres.
—A black letter Wiclif —murmuró.

Fui a mi dormitorio y le traje el dinero y el libro. Volvió las hojas y estudió la carátula con fervor de bibliófilo. —Trato hecho —me dijo.

Me asombró que no regateara. Sólo después comprendería que había entrado en mi casa con la decisión de vender el libro. No contó los billetes, y los guardó.
Hablamos de la India, de las Orcadas y de los jarls noruegos que las rigieron. Era de noche cuando el hombre se fue. No he vuelto a verlo ni sé su nombre.

Pensé guardar el Libro de Arena en el hueco que había dejado el Wiclif, pero opté al fin por esconderlo detrás de unos volúmenes descabalados de Las mil y una noches.
Me acosté y no dormí. A las tres o cuatro de la mañana prendí la luz. Busqué el libro imposible, y volví las hojas. En una de ellas vi grabada una máscara. El ángulo llevaba una cifra, ya no sé cuál, elevada a la novena potencia.

No mostré a nadie mi tesoro. A la dicha de poseerlo se agregó el temor de que lo robaran, y después el recelo de que no fuera verdaderamente infinito. Esas dos inquietudes agravaron mi ya vieja misantropía. Me quedaban unos amigos; dejé de verlos. Prisionero del Libro, casi no me asomaba a la calle. Examiné con una lupa el gastado lomo y las tapas, y rechacé la posibilidad de algún artificio. Comprobé que las pequeñas ilustraciones distaban dos mil páginas una de otra. Las fui anotando en una libreta alfabética, que no tardé en llenar. Nunca se repitieron. De noche, en los escasos intervalos que me concedía el insomnio, soñaba con el libro.

Declinaba el verano, y comprendí que el libro era monstruoso. De nada me sirvió considerar que no menos monstruoso era yo, que lo percibía con ojos y lo palpaba con diez dedos con uñas. Sentí que era un objeto de pesadilla, una cosa obscena que infamaba y corrompía la realidad.
Pensé en el fuego, pero temí que la combustión de un libro infinito fuera parejamente infinita y sofocara de humo al planeta.

Recordé haber leído que el mejor lugar para ocultar una hoja es un bosque. Antes de jubilarme trabajaba en la Biblioteca Nacional, que guarda novecientos mil libros; sé que a mano derecha del vestíbulo una escalera curva se hunde en el sótano, donde están los periódicos y los mapas. Aproveché un descuido de los empleados para perder el Libro de Arena en uno de los húmedos anaqueles. Traté de no fijarme a qué altura ni a qué distancia de la puerta.

Siento un poco de alivio, pero no quiero ni pasar por la calle México.

El Problema de la Altura. La Torre Pelli.

Publicado: 17 junio, 2012 de Pepe E. Carretero en Tusitala
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Todo el mundo hablaba una misma lengua y empleaba las mismas palabras. Y cuando los hombres emigraron desde Oriente, encontraron una llanura en la región de Senaar y se establecieron allí. Entonces se dijeron unos a otros: “¡Vamos! Fabriquemos ladrillos y pongámolos a cocer al fuego”. Y usaron ladrillos en lugar de piedra, y el asfalto les sirvió de mezcla. Después dijeron: “Edifiquemos una ciudad, y también una torre cuya cúspide llegue hasta el cielo, para perpetuar nuestro nombre y no dispersarnos por toda la tierra”.
Pero el Señor bajó a ver la ciudad y la torre que los hombres estaban construyendo, y dijo: “Si esta es la primera obra que realizan, nada de lo que se propongan hacer les resultará imposible, mientras formen un solo pueblo y todos hablen la misma lengua. Bajemos entonces, y una vez allí, confundamos su lengua, para que ya no se entiendan unos a otros”. 
Así el Señor los dispersó de aquel lugar, diseminándolos por toda la tierra, y ellos dejaron de construir la ciudad. Por eso se llamó Babel: allí, en efecto, el Señor confundió la lengua de los hombres y los dispersó por toda la tierra.

Simulación Torre Pelli

La Torre Cajasol, también conocida como La Torre Pelli en la actualidad

La Torre Cajasol dentro del complejo Puerto Triana en Sevilla , es un edificio actualmente en construcción que cuando llegue a concluirse se convertirá en el primer rascacielos de la ciudad y en el más alto de Andalucía. La construcción del edificio se lleva a cabo en el sector sur de la isla de la Cartuja junto a las avenidas del Patrocinio e Inca Garcilaso, en una parcela con una superficie de 59.000 m². El día 16 de julio de 2007 se colocó la primera piedra. La torre contaría con una altura total de 180,5 metros. El edificio proyectado tiene planta elíptica y 40 pisos de hormigón armado sobre rasante con 3 subterráneos. La fachada sería de vidrio y acero y estaría protegido del fuerte sol del verano por lamas de cerámica. Wikipedia.


La polémica

La polémica por la construcción de la Torre tiene ocupada a la ciudad desde la colocación de la primera piedra. Tengo mi opinión sobre el tema pero no la daré aquí pues esta entrada era un guiño, un juego de palabras a raíz de un comentario escuchado en radio. Si añado esta nota es por haber caído en la trampa de algunos que tergiversan la realidad apoyando sus postulados con recreaciones sesgadas. Afortunadamente hay quien te previene de dichas prácticas, gracias por el aviso, editado para subsanar el error.

Para conocer más sobre las manipulaciones de las recreaciones os dejo un enlace con la situación real de la construcción y las localizaciones asgnadas. Túmbala debe rectificar’  www.sevillasemueve.org

“Dice Pi” – ¿Odias las Matemáticas? – Ya no

Publicado: 20 mayo, 2012 de Pepe E. Carretero en Dice pi, Matejuegos, Tusitala

Para Pi no hay normas, es imposible que las cumpla y si le dices que no haga algo apuesta fuerte que lo hará. Por lo tanto desde hace años la dejo hacer lo que quiera. En mi despacho no hay nada que no haya removido. Por mi parte tengo mis días, días en los que me da igual, días en los que me saca de quicio y días por los que merece la pena su obsesión por revolver lo revuelto.

Hoy ha sido uno de esos. Buscaba, entre mis (sus) libros algún juego, acertijo, puzzle … con el que pasar la tarde y de repente dio con uno que hacía tiempo que no sacaba. ‘¿Odias las Matemáticas’ de Alejandra Vallejo-Nágera con ilustraciones de Cristina Belmonte de la Editorial Martínez Roca (¡Toma ya!), en principio para ella era otro libro más de los que pueblan mis estanterías, en principio digo, solo abrirlo por la primera página, sí esa que aparece en blanco, con el logotipo  de la editorial y darse cuenta que no iba a ser así.

El libro fue un regalo que una alumna, ‘Palitroque’ la llamo yo, me hizo al finalizar el curso 2007/2008. Como regalo el libro es más que suficiente, pero no, no queda ahí la cosa, sus páginas están  llenas de anotaciones personales de Paloma, anotaciones a ‘salto de mata’ sobre su relación con las Matemáticas, explicaciones de los acertijos, guiños a ‘cosas de clase’,…

Releerlo me trae grandes recuerdos de uno de los mejores cursos que he tenido, la cantidad de cosas que hicimos en ‘El Híspalis’ aquel año, ‘”El Pasillo Aureo”, “El Reloj Analemático” (con las directrices del Profesor Balbuena Castellano), “La Participación en La Feria de La Ciencia”,… Recuerdos de muchos y muy buenos compañeros y de muchos y muy buenos alumnos.

Palitroque y sus compañeras en la VI Feria de la Ciencia

Hay un frase, escrita en azul, con el bolígrafo “borrable” que usaba ‘El Palitroque’, en la segunda página que es de las que no olvidas. Paloma odiaba las Matemáticas (creo que ‘Las Mates’ de aquel año de cuarto fueron las últimas que cursó en su vida, vida que hoy se está encaminando a la Comunicación Audiovisual) odio que cambió por gusto al finalizar el curso. Dice así:

Por eso quiero que lo tengas tú (el libro), ya conseguiste lo que te proponías, trago las mates… esto bien, me GUSTAN las mates (aquí vine un emoticon que no soy capaz de reproducir en la máquina)

Lo tengo Palitroque y ya hace unos años de eso, hoy me ha alegrado la tarde toparme con tu regalo y leer tus ‘paranoias’ al margen (como tú misma los calificaste)

Por cierto todo esto tras que Pi lo soltara después de cotillear todo las anotaciones, dibujos, reflexiones,… y de seleccionar, claro está, el juego que proponerme, y digo juego porque lo es, claro un juego que viene de lejos, un juego que dedicó tiempo al gran Euler y sus estudios en Königsberg.

Se trata de experimentar con varias figuras, unas más sencillas que otras y decidir cuáles se pueden hacer sin levantar el lápiz, es decir de un solo trazo. Pero no solo eso, cuando lo hayas conseguido, ojo hay unas que sí se pueden y otras que no,  hay que intentar dar el salto y buscar un modo de, antes de ponerse manos a la obra, decidir si es posible hacerlo o no.

Os dejo un ‘scan’ de las figuras que vienen en el texto y le echamos un rato:

Números pares e impares

Publicado: 14 mayo, 2012 de Pepe E. Carretero en Tusitala
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“La serie de los números pares es justamente la mitad de la serie total de números. La serie de los números impares es exactamente la otra mitad. La serie de los pares y la serie de los impares son —ambas— infinitas. La serie total de los números es también infinita. ¿Será entonces doblemente infinita que la serie de los números pares y que la serie de los impares? Sería absurdo pensarlo, porque el concepto de infinito no admite ni más ni menos. ¿Entonces, las partes —la serie par y la impar—, serán iguales al todo? —Átenme ustedes esa mosca por el rabo y díganme en qué consiste lo sofístico de este argumento.

Mairena gustaba de hacer razonar en prosa a sus alumnos, para que no razonasen en verso.”

Antonio Machado Ruiz (1875-1939) en Juan de Mairena. Apuntes inéditos (1936).

Tomo como punto de partida de esta segunda parte dedicada a Thales, la introducción que Wikipedia da en su biografía

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 – 545 a. C. ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras. Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.

En los breves apuntes biográficos dados en la Parte I, dedicada al sabio milenio, hice hincapié en los viajes que Thales realizó principalmente a la Mesopotamia, donde conoció la Astrología Babilónica y también sus Matemáticas (esto tiende a obviarse dado el gran desarrollo de las ciencias celeste de aquel pueblo) y sobre todo a Egipto. De Egipto, de su agricultura más concretamente,  provienen casi todos los hecho geométricos atribuidos a Thales, nadie duda esto actualmente, lo que también se asume hoy en día es que fue Thales, y ese es uno de sus grandes méritos, quién transfirió la Geometría de Ciencia Descriptiva a Ciencia Exacta, abriendo así el camino, a mi modo de ver, a la mayor aportación en el campo intelectual que el humano ha realizado, la Geometría Griega o Helenística para incluir períodos posteriores de la Grecia Clásica como el romano.

Al intentar analizar las aportaciones al campo geométrico de Thales la primera entrada que encontramos es su famoso teorema. ‘El Teorema de Thales’ ha elevado a categoría de inmortal a nuestro personaje, pocos matemáticos, quizás Pitágoras o Arquímedes, pueden competir en popularidad con él (su teorema estudiado desde las más tempranas edades escolares, aunque difícilmente recordado, evoca el nombre del autor pasados los años de aprendizaje).

Resulta sorprendente para los que son capaces de recordar el enunciado de las paralelas cortadas por secantes o viceversa encontrarse con el enunciado siguiente del ahumado resultado:

Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

Entrada en Wikipedia

Imagen tomada de aquí

Y es cierto, el enunciado anterior también es conocido como el Teorema de Thales, de hecho hay dos teoremas así denominados y atribuidos al mismo autor. Pero aún hay más, la versión de las paralelas, cortadas… no constituye en sí el, primer Teorema de Thales (el ordinal es una manera de poder referirme a ellos), sí una consecuencia que se demuestra equivalente al enunciado original y que puede ser expresado así:

“Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.”

Estaremos de acuerdo que esta versión es más agradable y menos engorrosa que las proporcionalidad establecidas entre segmentos correspondientes en un sistema de paralelas cortados por dos secantes.

Básicamente la versión triangular del teorema nos indica como construir un triángulo semejante a otro dado, por lo tanto parte de la noción de semejanza que posiblemente Thales bien conociera de los agrimensores egipcios y a la que le sacó un gran rendimiento estableciendo, como consecuencia, ‘la constancia’ de los lado de los triángulos como luego veremos en la medición de las pirámides.

La segunda versión, la de los triángulos inscritos en una circunferencia y con un lado sobre el diámetro es muy útil a la hora de construir triángulos rectángulos, método muy usado en aquellos tiempos junto a la cuerda anudada dividida en doce partes iguales y otros.

De cualquiera de las maneras el éxito de Thales no está en su uso, cosa que se hacía antes que él, si no en su establecimiento como resultado esencial de la geometría, enunciándolo y refutándolo.

Con estos miembros se hundió la leyenda, cierta o no poco nos importa, que Plutarco relató sobre la medición de las alturas de las pirámides de Guiza, Keops, Kefrén y Micerinos, en Egipto.

¿Cómo midió Thales dichas pirámides?

Para responder la pregunta intentaré separar conceptos que, desde mi perspectiva, no separamos (estoy hablando ahora en clave profesor de secundaria) al trabajar con el teorema en el aula. Partimos de dos elementos, la noción de semejanza (igualdad de ángulos y proporción en los lados) y el enunciado del primer teorema, que nos garantiza la construcción de un triángulo semejante a uno dado.

Si nos encontramos al aire libre y clavamos, perpendicularmente al suelo un par de estacas de diferentes alturas del modo que se representa en la figura, fácilmente observamos que los dos triángulos que aparecen se encuentran en las hipótesis del teorema de Thales por lo tanto nuestros triángulos son semejantes. Pero ¿podemos establecer que A/B sea igual a D/C? la respuesta es sí, pero ni mucho menos es algo inmediato, un corolario de nuestro teorema así nos lo garantiza pero esa no es la tesis del teorema en sí. Es decir, el hecho de construir un segundo triángulo a partir de otro dado trazando una paralela a un lado me garantiza la semejanza de los dos triángulos ( o sea si comparo ‘lados correspondientes’ obtendré la misma razón) pero no tengo, a priori (eso sí se prueba luego), garantizada que se mantenga constante el cociente entre los lados de un mismo triángulo.

El mantenimiento de estos cocientes, en la figura A/B = D/C, queda establecida por Thales como consecuencia del teorema y en él se apoya el genial matemático para medir las pirámides.

Plutarco se hace eco de una leyenda que decía que Tales de Mileto en uno de sus viajes a Egipto, visitó la necrópolis de la meseta de Guiza  y sus famosas pirámides erigidas en honor a sus faraones, construidas varios siglos antes.

Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que A/B = D/C , por lo tanto la altura de la pirámide es D = (A·C)/B , con lo cual resolvió el problema.

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Thales trabajó y perfeccionó estos sistemas indirectos de medición y los fue aplicando con distintos fines, entre ellos a la navegación tan importante para las ciudades estado griegas.

Seguro que esta es la más conocida de las anécdotas atribuidas a Thales, pero su aportación a la geometría fue más allá, llegando a dominar las bases de lo que luego se denominaría Geometría Euclidea, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular. Pero por encina de los conocimientos concretos que poseyera lo esencial en él fue alcanzar unos niveles de complejidad y abstracción en su trabajo fuera del alcance  de los agrimensores egipcios. El establecimiento de sus teoremas supone el germen del concepto de demostración, poniendo las bases para la organización racional de la ciencia, posiblemente mucho de lo recogido, años más tarde, en Los Elementos por Euclides provenga de él. En definitiva  Thales dio el salto definitivo de la descripción a la formalización, el salto que condujo a la creación de la Geometría, sobre cuyos hombros descansó la ciencia hasta bien entrado el siglo XIX.

Referencias

Tales de Mileto-Wikipedia, la enciclopedia libre.

Teorema de Tales-Wikipedia, la enciclopedia libre.

Carnaval de Matemáticas (y 4): El teorema de Thales y su historia aderezados por Les Luthiers

Serie de Biografías Universales. Thales de Mileto. Encyclopedia Chanel vía Youtube.

El Legado de Pitágoras. Canal Historia.