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Thales, un tipo listo

Publicado: 4 mayo, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Viñetas
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Dicen que murió a una edad avanzada mientras contemplaba unos juegos gimnásticos, afligido por el calor y la sed y por la debilidad de los muchos años. Diogénes Laercio recoge en sus “Vidas de los más ilustres filósofos griegos” los siguientes versos:

Las gimnásticas luchas observando
atento en el estadio el sabio Thales,
arrebatóle Júpiter Eleo.
Bien hizo en acercarle a las estrellas,
cuando por la vejez ya no podía
las estrellas mirar desde la tierra.

Realmente tuvo que ser alguien excepcional, vivió a caballo entre los siglos séptimo y sexto antes de nuestra era, ¿fenicio?, ¿milesio?, poco importa, pues la historia lo recordará como el de Mileto. De “Los Siete” fue el primero en obtener el tratamiento de “Sabio”. Matemático, ingeniero, astrólogo, filósofo, político y sobre todo hombre práctico, modelo de “Sabio Distraído”, pero su grandeza radica “más que en sus logros concretos, teorías o afirmaciones sobre el mundo, en la manera en que trató de comprenderlo” [1]. Así lo más relevante en Thales es la apelación a la razón, al argumento, a la experimentación frente al mito y la tradición. El salto al vacío del Mitos al Logos.

Vista de las ruinas de Mileto, en la costa occidental (Costa Egéa) de Anatolia, actual Turquía

El historiador griego Diógenes Laercio comenta sobre su nacimiento y muerte:

Dice Apolodoro en sus Crónicas que Thales nació el año primero de la Olimpíada XXXV y murió el setenta y ocho de su edad, o bien el noventa, habiendo fallecido en la Olimpíada LVIII, como escribe Sosícrates. Vivió en los tiempos de Creso, a quien prometió le haría pasar el río Halis sin puente, esto es, dirigiendo las aguas por otro álveo.

Actualmente la historiografía fija el nacimiento de Thales alrededor del 624 a.C. y su muerte entorno al 547 a.C. en Mileto, hijo de Examio y Cleobulina, ambos de Mileto y de familia distinguida, no podría ser de otra manera. Existe otra variante dada por Diógenes, en el siglo tercero de nuestra era, que lo hace llegar a Mileto tras ser expulsado de Fenicia.

Viajó y viajó mucho, su posición lo permitía, tuvo acceso a la astrología babilónica, a la matemática práctica de los egipcios y aprendió de la política griega las artes retóricas. Esta formación le permitió dedicarse a la ingeniería y al asesoramiento de políticos y comerciantes jonios y lidios, pues no solo destacó por su capacidad de consejo si no también por su habilidad para las finanzas (archiconocida fue su operación de compra, en invierno, y posterior alquiler, a finales de verano, de todas las prensas de aceite de Mileto ante la previsión conjeturada sobre una más que benevolente cosecha de aceitunas). Por otro lado la privilegiada situación económica de su familia, en un principio, y los réditos obtenidos de sus negocios posteriormente facilitaron su dedicación al estudio y la filosofía, a crear una escuela en su torno y levantar los ojos al cielo y observar las estrellas.

Después de los negocios públicos se dio a la especulación de la naturaleza. Según algunos, nada dejó escrito; pues la Astrología náutica que se le atribuye dicen es de Foco Samio. (Calímaco le hace inventor de la Osa menor, diciendo en sus yambos:

Del Carro fue inventor, cuyas estrellas
dan rumbo a los fenicios navegantes.)

Diogénes Laercio “Vidas de los más ilustres filósofos griegos”

Dejara documento escrito o no, poco importa, Thales consiguió la eternidad gracias a, su trabajo por supuesto, pero sobre todo a la difusión que otros muchos de él dieron, ya desde muy antiguo, Heródoto, Platón, Aristóteles, el poeta Calímaco, Sosícrates, Diógenes Laercio, Proclo…

Como astrólogo, además de “su” supuesta ‘Astrología Naútica’ alcanzó reconocido prestigio por predicir a los jónicos el año en que sucedería un eclipse solar (quizá llevada a cabo gracias al sistema babilónico), hacia el año 585 a. C., el 25 de mayo, para ser más exactos. El acontecimiento fue magnificado y puesto en relación en la guerra entre medos y lidios dotando al hecho y a su agorero de tintes épicos.

Corría el año 590 a.C. los medos avanzaban hacia el oeste del Asia Menor, allí chocaron con los lidios de Anatolia. Desde entonces, se desarrolló una guerra sin cuartel entre la potencia meda, victoriosa frente a los asirios y babilonios, y los lidios, convertdos en el último obstáculo hacia occidente y el Egeo. Llegamos a ese día del año 585 a.C. Heródoto de Halicarnaso relata lo acontecido el día del eclipse y el transtorno que ocasionó la observación de este fenómeno astronómico:

“Tuvo lugar una guerra entre los lidios y los medos durante cinco años, en los que muchas veces los medos vencieron a los lidios y muchas los lidios a los medos. Dentro de ella incluso llevaron a cabo una batalla de noche: a ellos, que proseguían en condiciones de igualdad la guerra, en el sexto año, iniciado el combate, les aconteció que, trabada la batalla, el día de repente se hizo noche. Thales de Mileto había predicho a los jonios que sucedería esta mutación del día, habiendo propuesto como término el año ese en el que ciertamente tuvo lugar el cambio. Y los lidios y los medos, cuando vieron que se hacía de noche en lugar de día, pusieron fin a la batalla y de manera especial se apresuraron también ambos a que se hiciera la paz entre ellos. Y quienes los reconciliaron fueron estos: Siénesis, cilicio, y Labineto, babilonio. Éstos fueron los que se esforzaron por que se produjera la alianza entre ellos, e hicieron un intercambio matrimonial: en efecto, decidieron que Alyattes entregara a su hija Aryenis a Astiages, el hijo de Ciaxares; pues sin un lazo fuerte unos tratados firmes no pueden mantenerse. Y, en cuanto a los pactos, hacen esos pueblos lo que los helenos y, además de esto, una vez que se cortan los brazos a nivel de la piel, chupan mutuamente la sangre”

¿Realmente Thales disponía de herramientas para tal predicción? Difícilmente. Los ciclos de casi 19 años para eclipses de Luna eran bien conocidos en ese tiempo pero los de Sol era más difícil de calcular ya que estos eran visibles en diferentes puntos de la Tierra y así carecían de todos los datos. Se pueden barajar algunas posibilidades, una podría ser que Thales conjeturara alguna fecha, ni mucho menos con tal precisión, basada en datos de los babilonios, aunque se hace un poco difícil, otra, la más ajustada a la realidad, a mi modo de ver es la recogida en su Biografía de ‘Dictionary of Scientific Biography ‘

… una explicación más plausible parece ser simplemente que Tales resultó ser el erudito que estaba por allí en aquella época en el momento en que este fenómeno astronómico tuvo lugar y la suposición fue que como erudito él fue capaz de predecirlo.

Lo que no se puede dudar es de su dedicación y pasión por las ciencias celestes. Levantar la vista en las noches claras fue un placer que Thales heredó de la vieja cultura babilonia, esta afición del milesio se encuentra recogida por todos los autores que de él han escrito, asignándole incluso “la invención del carro”. La importancia de la Osa Menor no es baladí, de entre todas sus siete estrellas destaca Polaris, la Estrella del Norte, La Estrella Polar, aquella que situada en la prolongación de los ejes de la Tierra, permanece fija en los cielos apuntando al Norte Geográfico, guía de los navegantes incluso en los albores del siglo XXI.

Su fama de “Sabio Distraído” puede fundamentarse en una anécdota que, Diógenes Laercio, refiere, citando a Platón de él. Y es que al caer Thales en un pozo después de ser llevado por una vieja mujer a ver las estrellas, ésta replicó a ser solicitada su ayuda: ¨¿Cómo pretendes, Thales, saber acerca de los cielos, cuando no ves lo que está debajo de tus pies?¨ La anécdota procede de Platón, que la incluye en el Teeteto para expresar una idea parecida a la de Aristóteles: el filósofo se preocupa más de la filosofía y de la naturaleza en general que de lo inmediato.

[1] Cuadernos de Filosofía. ‘Los modelos de la explicación racional en los Presocráticos’

[2] ‘Biografía de Tales de Mileto’, J J O’Connor y E F Robertson

[3] ‘Tales de Mileto’ Wikipedia

[4] ‘El Mundo de Sofía’ Jostein Gaarder

[5] ‘Tales de Mileto. Filosofía Zacatecas’  Nobody can eat fifty eggs de Iván Vladimir Reyna Guzmán

[6] ‘Tales de Mileto’ Apuntes de Historia de las Matemáticas. Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora.

Decíamos Ayer “π Day”

Publicado: 15 marzo, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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¡Es cierto! Ya pasó. El  “π day” de este dos mil doce fue ayer, 03/14, pero tengo dos posibilidades, bueno tres, una cargarme de paciencia y afrontar la espera hasta el próximo, 03/14. Descartado. Dos, tomar un atajo, un atajo egipcio y celebrarlo el 22/7. Descartado también. Tres, pasado un día hago como el marido despistado que olvida el aniversario y reacciona, torpemente y a toro pasado, con una ‘ramito de violetas’.

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.

Esta pequeña estrofa esconde más de lo que a simple vista declara, que no es poco, y con ella comienzo todos los cursos de matemáticas que hasta el día de hoy llevo impartido. Si se abre el cuaderno de cualquiera de mis alumnos por la primera de sus páginas se encontraran estos cuatro versos, ¿motivo? no lo sé, no lo recuerdo, tal vez no lo haya, seguro que no es necesario.

π habitualmente nos trae a la mente, equivocadamente, al gran matemático de Samos Pitágoras. Euivocadamente pues nada tiene que ver el uso de la letra π para tal número con el afamado griego. La Wikipedia da una referencia acertada del origen en el uso de la letra para designar al número:

La notación con la letra griegaπ proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια”   (periferia) y”περίμετρον” (perímetro) de uncírculo, notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones (1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes).

Al bueno de Leonard Euler le debemos una de las fórmulas matemáticas más bellas con las que podamos trabajar. Fórmula en la que aparece nuestro π:

No solo en las relaciones formuladas por Euler nos encontramos con el ‘Trescatorce’, en el Análisis Matemático, en la Probabilidad, en Teoría de Números, en Geometría, en … aparece embelleciendo resultados y demostraciones. Gauss ‘decidió’ que su Campana debía usarlo, ¿quién contradice al Príncipe? y así, era ‘normal’ que el área encerrada por su ‘Curva Normal’ fuese:

En definitiva, definido como cociente entre diámetro y radio, por cualquiera de sus aproximaciones, más o menos acertadas, por la suma de una serie, por la ocurrencia de un suceso o, si eliminamos su coma, por el número de palabras que  contiene el Quijote, π, fascinó, fascina y me temo que lo continuará haciendo a todos aquellos que se atreven a acercarse a él.

 Termino. Mi amigo Yair, en su genial FotoMat, presentaba en tan ‘señalado’ día la siguiente entrada:

Pi es un número trascendente que debería expresarse con infinitos decimales, si eso fuera posible.
La Dra Anne Adams aquejada de una grave enfermedad cerebral volcó su creatividad científica en más de 1000 pinturas ordenadas y metódicas, como la que representa el número pi dando un color a cada cifra.

‘El Hombre y el Número’

Publicado: 25 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala
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Desde el Antiguo Egipto, bastante antes que en China, el número ha fascinado a los que piensan. Al principio eran los números enteros, la medida de las cantidades simples, de las distancias, de la edad y del tiempo que pasa, y el registro de las estrellas del cielo. Pero bien pronto hicieron su aparición los turbadores números irracionales.

En la Grecia del siglo VI, la escuela pitagórica basaba su reflexión sobre los números en un nuevo simbolismo que explicaba, como en China, todo el Universo, pasando por la música y la estructura de la constelaciones. Un siglo más tarde, con Sócrates, enemigo irreductible del pensamiento mágico, nacía la corriente racional propiamente dicha, primer milagro que conduciría, dos siglos más tarde, al desarrollo de la Escuela de Alejandría, con Euclides, Arquímedes y hasta Diofanto.

Compás de espera. Durante siete siglos, las matemáticas occidentales permanecen estancadas. Los sabios siguen pegados al engrudo de las cifras romanas y de la exégesis.

Un segundo milagro tendrá lugar a finales del siglo XI, en el sur de Europa, los jerarcas de la Iglesia traducen los tratados árabes inspirados en la tradición india. Siguen Fibonacci y Pacioli; más tarde, la explosión conceptual del Renacimiento, seguida de Kepler, descartes, Fermat, Leibnitz, Newton…

A pesar de los reproches de Descartes, e incluso en él mismo, el pensamiento racional y el pensamiento mágico permanecen mezclados, pero el primero progresa tan rápidamente, su deseo de vivir es tan intenso, su eficacia es tan clamorosa, que, en el siglo XVIII, termina por invadir todo el ámbito de la reflexión.

En el siglo siguiente, Galois descubre (¿o inventa?) el concepto de grupo y Cantor la teoría de conjuntos. El zoo de los números y de las teorías se enriquece de manera exponencial.

Otro siglo y he aquí la informática, que trastorna las condiciones y las posibilidades de cálculo.

Los ámbitos de exploración matemática continúan diversificándose y haciéndose más complejos, hasta el punto de que ya no basta con ser un matemático profesional para comprender lo que se está haciendo en los múltiples sectores de su disciplina.

El número, además, es explotado por las administraciones y las empresas para afirmar su poder, y, en el mismo seno de la comunidad de los matemáticos, continúa suscitando interrogantes, los mismos que ya se formulaban los filósofos griegos.

¿Podría ser que el número fuese una realidad en cierta manera superior, que no sólo preexistiría a la escritura, sino también al hombre e incluso a los elementos?

Antonio de la Fuente Arjona es Actor, Autor y Director. Lo traigo aquí porque me acaban de regalar su libro ‘La Rebelión de los Números’. Un teatro, un teatro con matemáticas, matemáticas en el teatro, matemáticas teatrales. Es una obra para representar, es una obra para leer con papel y lápiz como algún crítico dijo por ahí, simplemente es una obra para disfrutar, leyéndola, representándola, resolviéndola.

Aquí os dejo un fragmento, publicado en su web personal, de la segunda escena.

ESCENA 2                 UNA PUERTA EN LA PIZARRA

(Estamos en plena clase de matemáticas. Los alumnos en sus pupitres y el profesor junto a la pizarra intentando explicar su lección.

Hoy toca Polígonos, pero parece que el tema no suscita mucho interés entre los alumnos: unos bostezan descaradamente, otros cuchichean a escondidas, otros juegan con el móvil…)

PROFE DE MATES: (Trajeado y con grandes gafas, un poco chapado a la antigua.) …Un polígono es la porción del plano limitada por líneas rectas. Los elementos de un polígono son: los lados, los vértices y los ángulos. Los polígonos pueden clasificarse según su número de lados y según la medida de sus lados y sus ángulos…

(De pronto un avioncito de papel vuela por la clase, risa general.)

PROFE DE MATES: ¿Pero esto qué es? ¿Quién ha sido?

(Silencio. MARCOS, lentamente y un poco avergonzado, levanta la mano.)

MARCOS: He sido yo.

PROFE DE MATES: Marcos, me lo imaginaba…

MARCOS: Sólo quería demostrar que los polígonos también vuelan.

(Más risas.)

PROFE DE MATES: Qué gracioso… (Recoge el avión del suelo y lo mira: es casi un triángulo perfecto.) Pero por una vez no estás equivocado, ¿qué figura tenemos aquí? (Busca a quién preguntar.) A ver, a ver… esto… Silvia…

(Todos miran a SILVIA que está acodada sobre su mesa, parece profundamente dormida.)

PROFE DE MATES: ¿Silvia?… ¿No me has oído o es que no sabes la respuesta? (Se acerca más a ella.) ¿Silvia?…

(De pronto SILVIA suelta un ronquido espectacular y el PROFE DE MATES da un salto hacia atrás del susto. Todos se ríen a carcajadas y SILVIA despierta.)

SILVIA: ¿Qué, qué pasa?

PROFE DE MATES: ¡Pero bueno! (Ante el revuelo general intenta imponerse sin éxito.)¡Señores, un poco de orden por favor! No sé qué os sucede hoy pero estáis insoportables y como sigáis así yo me marcho.

SILVIA: (Realmente arrepentida.) Perdóneme, Profe, pero es que en cuanto empieza la clase de matemáticas me da un sueño… (Y bosteza.) ¡Uy!, perdón.

OMAR: Es que las mates son un poco rollo.

SARA: Yo no puedo con ellas.

MARCOS: ¡Pues anda que yo!

PROFE DE MATES: ¿Pero no os dais cuenta que las matemáticas forman parte de nuestra existencia?

CHEMA: ¿De verdad?

PROFE DE MATES: Pues claro. Piénsalo bien, te despierta la alarma de un reloj y gracias al reloj sabes en qué hora vives y alrededor del reloj sueles organizar tu jornada, coges un autobús para venir a la escuela y gracias a que tiene un número en el morro sabes qué autobús es el tuyo y a dónde te lleva. Y esto por poner solo un ejemplo. Los números y las matemáticas están en tu vida diaria desde que te levantas hasta que te acuestas…

CHEMA: ¡Buf!, qué agobio, ¿no?

PROFE DE MATES: Nuestro mundo sería un caos absoluto sin los números, si no fuera por las matemáticas no sé qué sería de nosotros…

MARCOS: Pues por mí como si desaparecen todas, mejor, para lo que las quiero… Las matemáticas sólo sirven para complicarnos la vida, ¿a que sí?

CHEMA: Estoy totalmente de acuerdo.

SARA: ¡Y yo!

RÓBER: La verdad es que a veces son un poco difíciles…

OMAR: ¿Sólo a veces?

MARCOS: ¡Fuera las matemáticas! ¡Fuera las matemáticas!…

(Los demás se unen también a los gritos de MARCOS, algunos incluso siguen el ritmo golpeando en la mesa. Únicamente RÓBER se mantiene al margen un poco asustado. El PROFE DE MATES pone cara de no saber qué hacer.)

TODOS: ¡Fuera las matemáticas! ¡Fuera las matemáticas!…

 (Sobre todo ese griterío suena de pronto un trueno que retumba violento por toda la sala, las luces parpadean dos o tres veces antes de producirse un apagón.)

CHEMA: ¿Qué ha pasado?

SARA: ¿Qué ha sido eso?

MARCOS: ¿Pero quién ha apagado la luz?

RÓBER: Oh oh, esto no me huele nada bien…

(La luz vuelve poco a poco, con pequeños parpadeos, como si le costase regresar con toda su fuerza.)

OMAR: (Aplaudiendo.) ¡Por fin!

SILVIA: ¿Y el Profe?

CHEMA: Es cierto, el profesor no está…

SARA: Habrá ido a mirar qué ha pasado con la luz.

MARCOS: O ha cumplido su amenaza y se ha ido de clase…

RÓBER: (Está como hipnotizado mirando la pizarra.) Yo creo que no se ha ido, o por lo menos, no voluntariamente…

SILVIA: ¿Por qué dices eso Róber?

RÓBER: Mirad lo que hay escrito en la pizarra.

(Los demás se acercan a mirar.)

SARA: Eso no estaba antes del apagón.

RÓBER: Esto es muy raro…

SILVIA: Parece un mensaje, ¿no?

CHEMA: (Leyendo.)SEIS LADOS IGUALES

FORMAN UNA PUERTA EXTRAÑA

PERO PUERTA AL FIN Y AL CABO.

SI LOGRAS DIBUJARLA SE ABRIRÁ PAR

                                                       © Antonio de la Fuente Arjona

Fragmento y fotografía sacada de la Web Personal de Antonio de la Fuete Arjona 

Título: La Rebelión de Los Números
Autor: De la Fuente Arjona, Antonio
Editorial: Ediciones de la Torre (Colección Alba y Mayo Teatro)
Publicación: 2010
Materia: Teatro
ISBN: 84-7960-471-9
Resumen: “La rebelión de los números conecta las matemáticas con el teatro, a través de la aventura de un grupo de alumnos y alumnas que salen a la búsqueda de su profesor de matemáticas que ha desaparecido misteriosamente mientras impartía su lección. Las peripecias del simpático grupo de Los Últimos de la Clase –dirigidas principalmente a estudiantes de entre 6 y 12 años y a sus maestros y maestras– va acompañada de unas preciosas ilustraciones de Juan Manuel García Álvarez y de variadas propuestas de ejercicios, rompecabezas y enigmas.”

Poesía de Jesús Malia

Publicado: 24 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala
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Recitando un poema de ‘la cinta de moebius’, vídeo de Charles Olsen

 

Extraído de su Bitácora Personal ‘Poesía Abierta’

Función de 1-X-N

Publicado: 23 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala
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Función de Uno -Equis -Ene:
Uno es Ene menos alguien;
Ene, el Uno colectivo;
Equis, el orden sin nadie

Planteamiento en Uno

Aparecer. Y gritar.
Ser deslumbrante un momento.
Quemarse en el entusiasmo.
Y luego, escuchar el eco.

Pues, ¿qué es Uno sino un eco
de lo que era que era?
Y ¿cómo ser lo que hoy somos
sin un futuro que vuelva?

Y cuando muero, ¿no mato
al que quiso ser en mí?
Nadie muere. Nadie mata.
Todo es principio sin fin.

Planteamiento en Equis 

Fuera del mundo en que existes
reina el total impensable.
Si es que humanamente hablamos
lo real es nada-nadie.

Las estructuras funcionan
y el hombre desaparece.
¿Qué se ha roto en vuestro centro?
Repetís cuanto se os mande.

No es un eco. Es el sistema.
Es el lenguaje no humano.
¿Qué importa el yo? Nadie es yo.
Es lo absoluto: Tu espanto.

Planteamiento en Ene

Uno entre todos no es nadie
aunque todos sean Uno.
Si alguien canta, no se dice,
dice el total que es ninguno.

Y Uno más Uno, más Uno
nunca es Ene, nunca es suma
porque su total es cero
y cualquiera siempre es alguien.

Triquitraque de las cosas
que creíamos sabidas.
¡Pólvora, máscaras, ruido!
Carnaval: Santas mentiras.

Dice Nadie 

En el bosque oscuro
la Bella Durmiente
centra metamorfosis,
irradia muertes.

Tan pronto corno aparece
se transforma. Y es el cambio
lo que da luz al momento
que es fugaz, pero no es falso.

No consigo un pasaporte.
Soy anónimo y cambiante.
¡Hasta la música es ley
y lo variable, constante!

Función de Uno, Equis, Ene. 1973 

Gabriel Celaya

Las Ecuaciones de Al-Khowarizmi

Publicado: 13 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala, Viñetas
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En el año 570, los desiertos de la eterna Arabia vieron nacer al Profeta. Mahoma vino al mundo en la ciudad de La Meca. Sobre el 610, con 40 años comenzó su predicación. En 622 tuvo que huir a Medina, ésta huída, La Hégira, marcó el comienzo de la era Musulmana. En 629 entra triunfal en su cidad natal y la hizo capital de toda Arabia. En el año 632, preparando la invasión del Imperio Bizantino, murió a causa de unas fiebres. Un siglo después, impulsados por la Jihad,  los árabes tienen el control del Imperio Bizantino, Egipto, Siria, Persia, la India,… En 755 el estado islámico se escinde en dos partes, el reino occidental con capital en Córdoba y el oriental con capital en Bagdad.

Los árabes en un principio no estaban muy interesados en asuntos intelectuales, poco a poco comienzan a interesarse por la cultura y se muestran cada vez más ávidos de conocimientos. En los comienzos, del 650 al 750, atraen sabios hasta Bagdad y hacia el siglo VIII comienzan a traducir los textos griegos, traducen los ‘Elementos’ de Euclídes de los bizantinos, a Ptolomeo ya en siglo IX, a Apolonio, Arquímedes, Herón… Hasta Bagdad, también, llegan mercaderes de oriente, con su nuevo sistema de numeración y rápidamente asimilan la nueva aritmética india, con alguna modificación, por ejemplo no admitieron los números negativos que los hindúes sí usaban. Los sabios traen sus trabajos científicos, tratados de geometría y astronomía, tratados que se suman a los datos proporcionados por los astrónomos persas y dan lugar al florecimiento de la cartografía. En definitiva, jamás, en el transcurso de un siglo, había recibido la cultura tan fuerte impulso como el obtenido entre los años 800 y 900, cuando oriente y occidente se encontraron en Bagdad. Los conquistadores árabes no solo estaban ávidos de asimilar la antigua civilización de los países ocupados sino que además, en sus textos sagrados, invitaban al estudio:

AL QUE CAMINA A LA BÚSQUEDA DE LA CIENCIA, LO ACOMPAÑA DIOS POR EL CAMINO DEL PARAÍSO

Una de las figuras de la Matemática árabe es Al-Khowarizmi. Geógrafo, astrónomo y matemático que trabajó en la Biblioteca del Califa en siglo IX. A él se le debe una Aritmética que difundía las cifras hindúes, el cero y las reglas de las cuatro operaciones. Pero su mayor aportación llegaría en el 830, ‘Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr w’al-muqäbala’ (Libro conciso de cálculo de restauración y simplificación), primer tratado de álgebra que bebía de la tradición india, babilónica y griega. De esta obra proviene la palabra Álgebra, “al-jabr”, cuyo significado es “restauración” entendida como la restauración del equilibrio mediante la transposición de términos de una ecuación. Por otro lado “w’al-muqäbala” significa la “simplificación” de la expresión mediante la cancelación de términos semejantes  de cada lado de la ecuación.

Así x – 7 = 3, por “al-jabr” pasaría a ser x = 3 + 7  y por “w’al-muqäbala” quedaría como x = 10.

Al-Khowarizmi formula las soluciones a modo de recetario basado en el método de completar de cuadrados. Estas recetas están dadas sobre ejemplos concretos y vienen justificadas a través de razonamientos geométricos. La matemática del siglo IX estaba muy lejos de la formalización actual, el uso de letras para designar valores desconocidos no llegaría hasta el siglo XVII con los trabajos de Vieta o Descartes; el matemático persa, haciendo uso de lenguaje ordinario,  define las especies de números con las que va a calcular. Así, en la introducción de su obra, tras indicar que el libro lo escribe por encargo del califa al-Ma’mūn, dice que quiere exponer:

… lo que las gentes necesitan en sus herencias, legados, repartos, arbitrajes, comercios […] medida de tierras, perforación de canales, medición y otras cosas que dependen del cálculo.

Y a continuación presenta las especies de números como las formas  que adoptan los números que se necesitan en el cálculo:

He encontrado que los números que se necesitan en el cálculo de aljabr y al-muqābala son de tres especies, que son: raíces, tesoros y
números simples no relacionados con raíz ni con tesoro. La raíz
(jidr) es cualquier cosa que se multiplica por sí misma, como la unidad, o los números, que le son superiores, o las fracciones, que le son inferiores. El tesoro (māl) es todo lo que resulta de la raíz multiplicada por sí misma. El número simple (cadad mufrad) es todo lo que, entre los números, es expresable y que no se relaciona con raíz
ni con tesoro.

Al estudio de las soluciones de la ecuación cuadrática, Al-Khowarizmi dedicó los primeros capítulos de su tratado. Distinguió cinco casos, seis si añadimos la ecuación de primer grado, con estos casos  recorre todas las posibilidades de ecuaciones de primer y segundo grado con soluciones positivas, recordemos que la aritmética árabe no contemplaba los números negativos. Estos casos son los siguientes:

  • Tesoro igual a raíces:  ax=  bx 
  • Tesoro igual a números: ax=  c
  • Raíces igual a números: bx = c
  • Tesoro y raíces igual a números: ax + bx = c
  • Tesoro y números igual a raíces: ax + c = bx
  • Tesoro igual a raíces y números: ax= bx+ c

Al-Khowarizmi inicia, con ésta obra, El Proyecto Algebraico, el Problema Problematum al que se refiera Vieta en su ‘Introducción al arte analítica’, al señalar el más fastuoso de los problemas, el ‘No dejar ningún problema sin resolver’.

El esquema que mantiene Al-Khowarizmi al enfrentarse a la resolución de las cuadráticas, es sencillo, parte de una situación particular la cual resuelve mediante unas órdenes sencillas, para luego dar una demostración (justificación tal vez sea más ajustado) geométrica del por qué de las indicaciones, las cuáles extrapola para resolver las situaciones que encajen en el mismo caso.
A modo de ejemplo, y con lenguaje actual, resolvamos una de las ecuaciones propuestas por Al-Khowarizmi, por ejemplo,  x + 10x = 39, perteneciente al cuarto supuesto. Primero enunciaremos los pasos a dar para su resolución numérica y después añadiremos la justificación geométrica basada en la completación por cuadrados. Al-Khowarizmi nos da las siguiente indicaciones para nuestra ecuación:

Debes tomar la mitad del número de raíces, esto es cinco, y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado de 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces y obtienes 3, que es el valor buscado.

Sencillo. Con cinco instrucciones claras, Al-Khowarizmi, resuelve este tipo de ecuaciones. Pero no se contenta con describir el proceso, cosa a que ha muchos hubiera bastado, como dijimos anteriormente añade una justificación de tipo geométrico que bien pudiera ser la que sigue:
En primer lugar identifica  x2 con un cuadrado, de lado x,  al une un rectángulo de altura x y base 10, esta figura tendrá un área total de 39 unidades, ya que:  x + 10x = 39. 
Seguidamente divide el rectángulo en dos rectángulos de base 5 cada uno y de igual altura,  x, que el rectángulo inicial. Colocándolos en dos lados consecutivos del cuadrado. Esta nueva figura, distinta de la inicial, mantiene la misma área que la primera. Tendríamos algo así:
La construcción se completa ” encajando” un cuadrado de lado 5 entre los dos rectángulos, simplemente prolongando sus lados menores.
De este modo, tenemos un cuadrado de lado x+5, donde se distinguen dos regiones de superficie conocida, a saber, la zona sombreada de área 25, y la que no lo está cuya área es 39, por tanto el área del cuadrado de lado x+5 es 25+39 = 64, así nuestro cuadrado (el mayor) tendrá de lado 8 = x + 5, de donde x = 3. que es la solución positiva de nuestra ecuación inicial. Es interesante notar que Al-Khowarizmi sabía de la existencia de la otra solución, – 7, pero sencillamente no la contemplaba por el hecho de ser negativa.

De un modo similar a éste se van resolviendo todos y cada uno de los casos contemplados por Al-Khowarizmi. Para terminar os dejo una captura de un par de páginas del libro ‘Historia de lasMatemáticas’ de Ediciones Proyecto Sur, en las que, en formato cómic, describe una justificación geométrica distinta, pero totalmente equivalente, para resolver este mismo tipo de ecuaciones.

 

Referencias:

‘Resolución de ecuaciones según al-Khowarizmi” de Carlos O. Suárez Alemán.

‘Historias de Al-Khowarizmi (4ª entrega). El proyecto algebraico.’ Luis Puig. SUMA65.

‘Historia de las Matemáticas’ Ediciones Proyecto Sur.

Babel

Publicado: 4 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala
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Poesía, Álgebra y Espionaje

Publicado: 2 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Matimágenes, Mundo Matemático, Viñetas
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Después de Galois,… realmente ahora que lo pienso, sería antes de Galois, pero que más da, el orden lo definimos nosotros, ¿no?. Pues eso, tras Galois, abro una segunda línea de trabajo. Sí  una de ellas, la primera, estaba enmarcada en el Romanticismo francés la otra en lo está en el Renacimiento italiano. Es ésta segunda la que presento aquí a través de una de las antiguas láminas del Aula del Periódico El Mundo, creo que estuvieron publicándose hasta hace unos años, luego les perdí la pista, pero menos mal que las fui guardando.

Los dos protagonistas principales, Cardano y ‘El Tartamudo’ Tartaglia (eso significa Tartaglia) cuyo nombre era Niccolo Fontana. Estos eran las estrellas pero también juegan un papel importante, fundamental diría yo, Scipio del Ferro, Del Fiore  (este se me olvidó en clase cuando os cantaba la historia, espero me sepa disculpar) y Ludovico Ferrari.

Os dejo la lámina para abrir boca, si os animáis hay mucho de dónde tirar.